设函数f(x)=|lgx|,a,b满足f(a)=f(b)=2f[(a+b)/2] 0<a<b.证明 a<4b-b^2<3

证:
由 |lga| = |lgb|
得 lga = lgb 或 lga = -lgb
得 a = b 或 a = 1/b
因为 0<a<b
则 只有 0 < a = 1/b
由 0 < 1/b < b 得 b > 1
则 a = 1/b < 1
则 a < 1 < b

因为 b > 1 ， 所以 b² > 1 ， 所以 1/b² ∈ (0, 1)
又 2|lg[(a+b)/2] = |lgb| , b > 1 , a = 1/b
则 2|lg[(1/b + b)/2]| = lgb
由基本不等式得 (1/b + b)/2 > 2/2 = 1
则 2lg[(1/b + b)/2] = lgb
即 [(1/b + b)/2]² = b
即 1/b² + 2 + b² = 4b
则 2< 4b - b² = 2 + 1/b² <3

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